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儿子今年上小学四年级。由于他不让我在家教他数学，我只好将他送到一所中文学校上周末数学提高班啦。正好，他老师是一个心平气和的中国太太，和我也比较熟。教材是给新加坡六年级学生用的，比美国六年级的数学教材难很多。

一天，他拿来一道家庭作业让我帮忙。我习惯性地大叫一声：

“你怎么搞的？连这么简单的题都不会做啊。”

“那你试试看！”儿子反驳道。

我拿起那道题一看，发现它果然不简单：“一个正方形ＡＢＣＤ，边长为１。分别以Ｃ和Ｄ为圆心做单位园相交于正方形内的点Ｅ。试计算线段ＡＤ，弧形ＡＥ和ＤＥ所围图形的周长和面积。”

周长还好办，只要用对称性即可。面积可让我头疼啦，我左思右想也找不到一个比较简单的办法。最后，我不得不用初中平面几何和勾股定理的知识才找出了答案。另我吃惊的是，答案中有根号。于是，我赶紧给他老师打电话问究竟：

“这道题不适合小学生做。原因是答案中有根号，而小学生是根本不懂根号的。”

“你说得不错。已经有几位家长打电话来抱怨这道题太难，连他们都做不来呢。”她心平气和地回答说。

“这么难的题目以后还是少布置吧！”我笑着建议说。

“不行啊！要是题目太简单了，家长也会抱怨。”

“在美国做数学老师真难啊！”我深有体会地附和着她。

“班上有些小孩才上三年级，上我这门课很吃力。可是，他们的家长硬要逼着他们上啊。”

“这不是拔苗助长么？”我反问道。其实，我儿子本来也该上三年级的。

挂 掉电话后，我思绪万千。我住在德州一个大都会，华人有十几万。这儿的华人家长对数学和钢琴热情如火。他们自己的音乐细胞都不多，好像要从孩子身上补回来似 的。他们的数学细胞不少，好像要从孩子身上找出来似的。每次数学竞赛都像一次华人大聚会。小孩在里面轻松地比赛，家长们则站在外面紧张得拼命聊天。当宣布 成绩的时候，要是自己的小孩得了奖，平时不善亲待孩子的父母也会跑过去笨拙地亲着小孩。要是自己的小孩没有得奖，父母会拉着小孩赶紧溜掉，怕熟人问起来丢 人。

我不大敢带小孩去参加华人举办的数学竞赛。我太想让他们赢，偏又怕他们输。我对他们的期望太高，所以往往会失望。我平时讲究绅士 风度，从不对人发脾气。不过，一牵涉到数学，我就会变得粗鲁和粗暴。我一直想自己教两个小孩学数学，但效果都不大理想。要么小孩不听我的，要么我把他们骂 得大哭。我的口头禅是：“你们怎们这么笨啊？”我常常教训他们：“我象你们这么大的时候早就会做这种题啦。”　其实，我在给别人辅导数学的时候，脾气和态 度可好啦。也许是钱在作怪吧。教自己的小孩不但不赚钱，反而要赚气啊。也许是我的爱心不够吧。毕竟，我极少拥抱他们，也极少对他们说：“我爱你！”总之， 我一生无法跳出数学这个坎。数学是我一生的凤，数学是我一生的洞，数学是我一生的梦，数学是我一生的痛。

数学作为一种职业还是近代的事。随着十六世纪大专院校在欧洲的涌现，数学变成了一种高贵的职业。其实，早期的数学家很多都是业余的。他们大多是富家子弟，都喜欢玩弄比少女还纯洁的数学。

对 数的发明者约翰·纳皮尔（１５５０－１６１７）出身于英国一个贵族之家，是Ｍｅｒｃｈｉｓｔｏｎ城堡的第八代传人。他一生荣华富贵，未曾有过正式的职业。 他年轻的时候正值欧洲掀起宗教革命。他写了大量的文章攻击旧教（天主教），成了赫赫有名的神学家。当天主教的西班牙扬言要派无敌舰队攻打英国时，纳皮尔开 始研究兵器（包括炮、装甲马车、潜水艇等）。虽然在他的兵器制成以前，英国已把西班牙的无敌舰队击垮，他还是成了英雄人物。

他利用业 余时间研究数学，以发明对数运算而著称。那时，天文学家们做了很多的观察，需要算几个数的连乘，因此苦不堪言。１５９４年，他发明了对数方法，从而解决了 天文学家的难题，这让他在数学史上占据了很重要的一席之地。此外，他还发明了纳皮尔尺。这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根。

费 马（１６０１－１６６５）堪称“业余数学家之王”。他出生在法国一个贵族家庭，上大学的时候选了当时最时髦的法律专业。他大学尚未毕业便买好了“律师”和 “参议员”的职位。毕业后，他很顺利地当上了图卢兹议会的议员。以后几年，他官运亨通，越做越大。然而，费马没有什么领导才能，其官场生涯没有什么突出政 绩。不过，费马从不利用职权向人们勒索、从不受贿、为人敦厚、公开廉明，赢得了人们的信任和称赞。

对费马来说，真正的事业是数学。他 通晓法语、意大利语、西班牙语、拉丁语和希腊语。语言方面的博学给费马的数学研究提供了语言工具和便利，使他有机会真正了解阿拉伯和意大利的代数以及古希 腊的数学。在数学上，费马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学。

费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究只不过是他的业余爱好罢了。然而，他是公认的有史以来十位最伟大的数学家之一。他是解析几何的发明者之一，概率论的主要创始人。他是数论的绝对权威，对于微积分的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨。

１６３７ 年，费马提出了著名的费马大定理：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不可能把任一个次数大于 ２的方幂表示成两个同方幂的和。”他在一本书的下面作了批注：“这个定理的证明太简单以致我不想在此浪费笔墨去证它。”正是这个费马大定理让数学家整整忙 了３５０年才证明了它是对的。

德国数学家哥德巴赫（１６９０－１７６４）也是业余数学家。他曾在英国牛津大学学法学，后来对数学产生 了浓厚的兴趣。毕业后，他改做了中学数学老师，并利用业余时间研究数学。１７２９年至１７６４年，哥德巴赫与大数学家欧拉保持了长达三十五年的书信往来。 在１７４２年６月７日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了如下猜想：

（ａ）　任何一个＞＝６之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

（ｂ）　任何一个＞＝９之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。其中，（ａ）的简称为“１＋１＝２”。

欧 拉在６月３０日给哥德巴赫的回信中说：“我相信这个猜想是正确的，但却不能证明它。”２００年过去了，还是没有人能证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠 上一颗可望不可及的“明珠”。人们对哥德巴赫猜想的热情经久不衰。世界上许许多多的数学工作者和数学爱好者做梦都在想证明它呢。

数学 奇才伽罗华于１８１１年诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王朝的复辟时期，又赶上路易？腓力浦朝代初期。他从小就显示了杰出的数学才华，中学尚未毕业他就 写了一篇关于群论的论文，并提交给了法国科学院。审稿人是当时法国最杰出的数学家柯西。然而，柯西因为种种缘故将伽罗华的手稿弄丢了。１９２８年他中学毕 业后，进入了师范大学学数学。第二年，他写了一篇重要文章，并将手稿交给了法国科学院常任秘书傅立叶。然而，傅立叶收到伽罗华手稿后不久就去世了，因而伽 罗华的文章再次被遗失了。

在师范大学，伽罗华参加了当时最激进的的秘密组织“人民之友”，并发誓：“我愿意用自己的生命唤起人民的觉 醒。”他揭发了校长吉尼奥对法国七月革命政变的两面派行为，因而被开除了学籍。之后，他进一步积极参加政治活动。１８３１年５月ｌ０日，伽罗华以“企图暗 杀国王”的罪名被捕。由于“人民之友”的解救，伽罗华被宣告无罪当场获释。同年７月，伽罗华组织参与了国庆示威，再次被抓进监狱。在监狱中，他度过了２０ 岁的生日。伽罗华一方面与官方进行不妥协的斗争，另一面还抓紧时间刻苦钻研数学。尽管牢房里条件很差，生活艰苦，他仍能静下心来在数学王国里思考。

ｌ８３２ 年３月１６日，伽罗华再次获释了。不久，年轻气盛的伽罗华为了一个舞女，卷入了一场“爱情与荣誉”的决斗。伽罗华深知对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的 命运，所以连夜写好了遗言：“我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品 而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。”

接着，他把自己生平的数学研究写成论文手稿。他几次在纸边空白处写上“我没有时间，我没 有时间。”他在黎明之前那最后几个小时写出的东西，足以让世世代代的数学家们忙上几百年。他不废吹灰之力就解开了那个折磨了数学家达几个世纪之久的谜：在 什么条件下代数方程是可解的。他开拓了一个崭新的数学理论“伽罗华群论”。作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、直 尺三等分任意角等结论。

１８３２年５月３０日清晨，伽罗瓦在“决斗场”与他的对手相遇。伽罗瓦倒下了，肠子被射穿。伽罗瓦临死前，他 的弟弟流着泪赶到了。伽罗瓦努力安慰他的弟弟：“不要哭，”他说，“我需要我的全部勇气在２０岁时死去。”他带着对数学的钟爱、对革命的憧憬、对女人的渴 慕离开了人世。他研究数学前后还不到五年，却足以跻身于有史以来十位最伟大的数学家之列。

在中国古代，数学属于旁门左道，所以研究数 学的人很少。《九章算术》是中国古代为数学发展做出的最杰出贡献。《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补 才最后成书，这大约是公元一世纪的下半叶。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。

《九章算术》共收有　２４６个数学问题，分为九 章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。《九章算术》在算术方面的主要成就有分数运算和比例问题；在几何方面的成就包括面 积和体积计算；在代数方面的成就主要有一次方程组解法、平方、立方、一般二次方程解法等。“方程”一章还在世界数学史上首次引入了负数及其加减法运算法 则。

中国古代对数学的另一贡献是关于圆周率的计算。三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法－－“割圆术”。他用圆内接正多边形的 周长来逼近圆周长。刘徽计算到圆内接９６边形，求得π＝３.１４，并指出：内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确。祖冲之（公元４２９－５００年） 在刘徽的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在３.１４１５９２６与３.１４１５９２７之间。

中国古代对数学的贡献还有中国剩余定理。公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”答为“２３”。明代数学家程大位在其《算法统宗》里用口诀：

三人同行七十稀，五树梅花廿一只。

七子团圆月正半，除百零五便得知。

这个口诀的意思是：把用３除所得的余数乘以７０，加上用５除所得的余数乘以２１，再加上用７除所得的余数乘以１５，结果若是比１０５大，就减去１０５的倍数，便得所求的数。

然而，号称中国古代第五大发明的的科举考试从来就不考数学。科举考试从隋代开始建立，直到清末才废除，历经一千三百多年。没有数学，中国照样发展，唐朝的中国更是世界上最发达的国家。

中 国对数学的顶膜崇拜只是３０几年前的事。那时，中国刚结束十年动乱，刚恢复高考。中国发现自己在科技方面远远落后于西方国家，想迎头赶上，最佳突破口就是 数学。数学不需要资金，不需要设备和仪器，更不需要实验室，只要一支笔、一张纸即可。那时，中国媒体大树宣传数学家华罗庚、陈景论、杨乐，张广厚，苏步 青、谷超豪、潘承洞、王元等。徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》更是将数学推到了顶峰。一时间，陈景润在中国变得家喻户晓。大家奔走相告“陈景润啃着干馒 头，证着一加一等于二，草稿纸都堆成了一座山。”陈景润这种刻苦钻研数学的精神激励了无数热血青年学数学。之后不久，从江西赣州又传来了数学神童宁泊打着 手电躲在被窝里学数学的佳话。数学一下子变成了第一热门。

中国国内现在仍然崇尚数学，从小学开始就有各种各样的数学培训班和数学竞 赛。其中，难度最大的比赛要数“小学奥林匹克数学竞赛”，简称奥数。市面上各种各样的奥数复习书籍让家长直恨自己出生太晚了。有一次，记者拿着一道奥数题 “问１、２、３、２、３、４、３、４、５、４、５、６……前５００个数的和是多少？”去问菲尔茨奖（数学界的诺贝尔奖）得主安德烈·奥昆科夫，竟然难倒了 这位世界著名的数学家。这位数学大师说他从来没上过奥数，也不理解中国小学生拼命学奥数的做法。他认为那些太难、太刁钻的题目，很可能伤害了孩子们学习数 学的兴趣。

无独有偶，世界著名数学家、美国哈佛大学数学教授丘成桐也反对奥数。这位获得过菲尔滋奖的华人数学家这样评价奥数：“奥数 题都是事先有答案的题目，只不过让学生钻更多的套去找到那个答案，这没多大意义。真正有价值的，是从没有答案的现实中发现问题，然后运用数学知识去解决问 题。”丘教授在浙江主办了一个新型的数学竞赛，要求学生组成研究小组，自己到生活中去发现问题，然后用学过的数学知识来解决它。这种没有现成答案的竞赛方 法，就与奥数竞赛完全不同，实际上是让学生学会提出问题和解决问题的科研方法。

其实，美国的数学竞赛名目也很繁多。美国小学也有奥 数，初中有Ｍａｔｈ　Ｃｏｕｎｔ，高中则有ＡＭＣ１０，ＡＭＣ１２，等等。美国的小学奥数有些题目也能难倒大数学家，比如这道题：“将２７个单位正方体胶 在一起组成一个边长为３的大正方体，再从上往下、从左往右、从前往后各挖掉中间那个小正方体。如果你将这个被挖心的大正方体泡到一个漆桶，问：总共有多少 表面积被油上了漆？”不过，美国很少办培训班，也鲜见复习书籍。美国一切顺其自然，一切依着小孩的兴趣，家长极少逼小孩参加数学比赛。美国人普遍不爱数 学，不少有识之士都在为美国的数学危机而担忧。前联储主席格林斯潘曾经有一番惊人的论断：“美国时下的经济危机其根源是美国人的数学太差。”然而，当今世 界上一流数学家大都是美国人。

笔者以为，在美国小孩要学好数学需要天分、兴趣、勤奋三个要素。其实，这三个要素是相辅相成的。小孩有 数学天分，就会对数学感兴趣。小孩对数学感兴趣，就会勤奋学数学。小孩越勤奋学数学，对数学的兴趣就会越浓，学起来也就会越容易。在美国，我们既不能逼小 孩学数学，因为逼得太紧会使小孩厌烦数学。我们也不能放任小孩不学数学，因为小孩的天性都很懒。另外，我们不能让小孩越太多的级学数学，那样会让小孩对数 学消化不良，时间长了容易学东忘西的。一般来说，越一至二级足够了，除非你小孩真是数学神童。再说，华人弟子有相当一部分将来要学医学和法律，花大量的时 间学数学简直就是浪费。

那么，在美国的中国家长究竟应该怎样对待数学呢？笔者以为，“三励法则”可助我们过关。我们应该像美国家长学 习，多鼓励小孩。不管小孩做对了还是做错了数学题，我们都应该为他们喝彩叫好。毕竟，用来鼓励的话语都是免费的。小孩受到了鼓励就会对数学感兴趣、有信 心。我们也应该多奖励小孩做数学。既然小孩不可避免地要玩电脑，何不将玩电脑作为一种对学数学的奖励办法呢？小孩玩了一会电脑，过了一把瘾，做起数学来也 就更带劲。最后，我们应该多激励小孩学数学，告诉小孩勤奋比天分更重要。牛顿小时候并不是数学神童，但他很勤奋，发明了微积分。这样的例子还有很多很多。

愿你的小孩数学学得更轻松、更快乐！

bigfei

开始看到文章里数学老师出的那道数学题，感觉很熟悉，但是后来才发祥，要比我带领学生们做的那道题难多了。有兴趣的家长可以试试。把原题里“分别以C和D为圆心做单位圆”改为“分别以A和C为圆心，或者以B和D为圆心（即以对角线上的2点为圆心）”，当然，这样一改正方形内就不会有交点E，原题里的其他条件和问题不变。

改过的题目要变的简单多了，答案中也不会出现根号。但是从出题目的角度来看，所要考察学生数学能的具体方面也不同了。即使是改过的题目，本地中学2，3年级的学生（8，9年级），能够做出来的还是很少。

大家都承认数学是基础学科。数学成绩的高低，会影响到学生在预科和大学中选择专业。华人家庭对数学的重视程度更是严重，而且家长普遍都有很强的辅导能力，“中考”也有很多学生是靠数学成绩考上名牌中学的。

美国我们不知道，身边就有这样的例子。我有一个学生就是这样，考上Jean-Edues时数学满分，校长还特意邀请了家长表示重视。可是上了中学之后数学成绩就一直下滑到及格的边缘，我是去年接触到这个学生的，后来勉强维持到接近90分的成绩，后来我离开学校，原来的学校给他换了一个老师，2个月的时间里成绩又会到了及格边缘。

中考生的家长是要注意这一点的，学生不是考完中考就没事了，中学的课程和小学是完全不同的。中考补习一下可能考上好中学，但是到了中学以后，最好是跟进学校教学内容。在中学生中补习数学的学生是比较多的，即使是西人家庭也不例外选择在学校内补习数学。

“奥数”的部分好像也只有中国人才热衷，华人多的地方也不例外。其实蒙特利尔的家长根本没有特别在意“奥数”，多伦多就大不一样了，“奥数”班还是很红火的。我个人认为“奥数”班没有设麽不好，但是“奥数”班低龄化就比较奇怪了。国内是因为“奥数”比赛成绩可以“加分”升学；但是在加拿大，至少魁省据我所知没有这样的“规定”，只是“考虑优先录取”。实打实的“加分”和“考虑优先录取”区别还是很大的。

这里的数学竞赛普遍还远远没有达到“奥数”的水平，华人主办的竞赛要难一些。像是前面的“原题目”是“奥数”题，改过之后就是竞赛题了。比较大型的全国性和地区性数学竞赛，很多中学都会组织学生集体参加，学校没有组织，学生也可以通过很多方式参与。全国性的数学竞赛会分多个年级，同年级下也还会分多个不同的层级，题目的难度相差很多。我是觉得这样的做法很好，能够吸引学生参与，保持学生对学习数学的兴趣。

接触的学生多了，我反而觉得这里的数学题目更加有趣，更加贴近生活，不是简单的考察学生的运算能力。题目大多是“project”的形式，中间综合考察多项内容。而且这样“project”式的题目也更适合我们这些补习老师的灵活运用，比如去掉一些“已知条件”就可以改变题目的难度，考察学生新的知识点；加上一些“已知条件”就又可以变化出更多内容，我个人“乐此不疲”。

我注意到这里的孩子学习数学有几个不好的习惯，希望家长注意。依赖使用计算器，而且计算器还用那种带“programme”的计算器，算什么都用；这里的老师向国内给学生总结归纳知识点，重点和考点，但是学生自己应该养成归纳总结的习惯，笔记也应该认真记录。

电脑里存了2个大型数学竞赛的网站，有的上面可以找到历年来各层级的竞赛原题，还有答案。可以给孩子试试。如果孩子真有这方面的兴趣在去找学校和老师培养。

http://cemc.math.uwaterloo.ca/index.html

http://cyberquebec.ca/_layout/?uri=http://cyberquebec.ca/optimath/

还要谢谢文章中写到了那么多数学历史，真实很长见识。